Correction des exercices : propriétés des ev
Correction des exercices : propriétés des ev
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Contenu du cours
Correction de l'exercice 1
L'ensemble $E$ ne contient pas la fonction nulle, car pour celle-ci l'image de $1$ est $0$, donc $E$ n'est pas un espace vectoriel.
Correction de l'exercice 2
On note $0_{F}$ la fonction nulle sur $[0,1]$. C'est un élément de $F$ car $\displaystyle\int_{0}^{1} 0 \; \sin(t) dt$ = 0.
On montre facilement que les $8$ axiomes sont vérifiés. En particulier, à l'aide de la linéarité de l'intégrale, on démontre que si $\displaystyle\int_{0}^{1}f(t) \sin(t) dt = 0$, alors $\displaystyle\int_{0}^{1}\left[-f(t)\right] \sin(t) dt = 0$. Par conséquent $F$ est un espace vectoriel.
Correction de l'exercice 3$G$ n'est pas un espace vectoriel. En effet, la suite $(u_n)$ définie par $\forall n \in\mathbb{N}, \; u_{n} = -n$ appartient à $G$ car elle est majorée par $0$, mais la suite $(-u_n)$ admet pour limite $+ \infty$. Donc $(-u_n) \not\in G$.